[archive] Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc…

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Jcpo
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[archive] Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc…

Post by Jcpo » 23 August 2014, 21:29

3,1415926535867932384 etc…
par Jacques Grimault

Le nombre qui relie le diamètre d'un cercle au périmètre de ce cercle est irrationnel, c'est-à-dire que son développement est infini et non périodique.
Il est aussi transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas la racine d'un polynôme à coefficient entier…
On ne peut donc le chiffrer entièrement, quel que soit le moyen employé. Ce pseudo-nombre est cependant connu de tous sous le nom de Pi, et nous démontrerons dans le prochain opus, qu’il est parfaitement structuré et, conséquemment, qu’on pourra le déchiffrer, et de plusieurs manières…

Avant cela, faisons un petit tour en sa compagnie…
Il y a environ 5 000 ans, les Babyloniens, se servaient de la valeur 3 + 1/8 pour estimer le rapport par lequel multiplier un diamètre pour obtenir le périmètre du cercle correspondant.
Les Hindous utilisaient généralement 3,0625 comme multiplicateur du diamètre, alors que les Chinois se servaient plutôt du rapport 22/7.
Le papyrus Rhindt, découvert en 1855 en Egypte, et daté des environs de 1800 avant notre ère, fait état de deux fractions. La première est 2 + 8/7, ce qui donne un résultat numérique équivalent à 3,142857143, ce qui n'est déjà pas si mal, et la seconde, 377 / 120, dont le résultat donne une très bonne approximation du rapport périmètre/diamètre ; 3,141666667. Encore ne devait-il servir qu'aux opérations d'arpentage et n'être enseigné - par conséquent -, non pas aux savants, mais à des personnes de moindre instruction.
On fait fréquemment référence à un passage de l'Ancien Testament (Livre des Rois, VII, 23), susceptible - dit-on généralement - de donner l'indication du rapport du diamètre au périmètre tel que le connaissaient les Hébreux : « Il fit la mer d'airain fondu. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, elle était entièrement ronde ; sa hauteur était de cinq coudées, et un cordon de trente coudées mesurait sa circonférence », après lequel on s'empresse de dire que les Hébreux estimaient ce rapport égal à 3.
Le Grec Archimède, le premier - selon les historiens des sciences - à proposer une recherche de ce rapport par le raisonnement pur, s'engage par la méthode de calcul des différences entre des polygones réguliers inscrits et exinscrits au cercle : pour un hexagone, par exemple, on trouve la valeur 3,2106, ce qui est assez grossier.
Le célèbre géographe, astronome, et mathématicien Claude Ptolémée d'Alexandrie, vers l'an 100 après J.C, se servira du rapport 22/7ème, déjà aperçu plus haut… mais chez les Chinois.
Mais la culture périclite, et Pierre Metius, plus de 10 siècles après, propose la fraction 355/112, ce qui, en matière de précision et de simplicité, est de loin inférieur à la fraction égyptienne, celle-ci valant 3,169642857 et celle-là 3,141666667…
Le Français François Viète (1540-1603), à qui l'on doit les signes modernes des quatre opérations, calcule à son tour, d'après la méthode d'Aristote, la moyenne entre deux polygones - inscrit et exinscrit - à 393 216 côtés, ce qui lui donna le chiffre de 3,141592653…

En 1596, le mathématicien Allemand Ludolff von Ceulen va plus loin et calcule les 20 premières décimales de ce nombre, puis en propose 34 en 1609 (les Allemands appellent parfois Pi ‘le nombre de von Ceulen’).
La méthode d'Aristote cède la place au calcul différentiel et intégral, pour plus d'efficacité…
En 1706, William Jones propose de baptiser le nombre exprimant le rapport de tout périmètre de cercle à son diamètre du nom de Pi, première lettre du mot grec périmetron, qui signifie périmètre.
Le mathématicien français Jean-Henri Lambert, en 1768, démontre que Pi est irrationnel, ce que confirme son compatriote Liouville, par une autre méthode.
L'Allemand Ferdinand von Lindemann montre, en 1882, que Piest non algébrique, et par conséquent transcendant.
En 1937, à l'occasion de l'Exposition Internationale qui se tenait à Paris, on avait imaginé une salle ronde consacré à ce nombre Pi, et quelques centaines de décimales y furent peintes : hélas, le mathématicien qui avait calculé ce nombre jusqu'à la 707ème décimale, en 1874, l'Anglais Shanks, s'était trompé à hauteur de la 528ème position, et cette erreur figure encore de nos jours au fameux mur. Pour l'anecdote, racontons que ce chiffre avait été contesté largement avant 1937 par le mathématicien Ferguson, compatriote de Shanks, qui en 1846 avait détecté une erreur à la 52ème décimale…
En 1950, la première machine à calculer électronique entre en lice : elle fournit 2000 décimales de Pien 24 heures de calcul.
En 1985, à l'aide d'un ordinateur et d'une formule fournie en 1913 par le mathématicien autodidacte Indien Srinivasa Ramanujan, Gosper calcule Pi jusqu'à 17 millions de décimales après la virgule.
Le frères Chudnovsky, en 1994, et de manière quasi artisanale (sur l'ordinateur de leur domicile), ont quant à eux obtenu 4 milliards de décimales.
En 1996, les Américains David Bailey et Simon Pouffe ont mis au point un algorithme susceptible d'indiquer la valeur du nombre selon son rang dans la suite des décimales de Piénoncées en mode binaire…

Du point de vue pratique et mnémotechnique, maintenant, il nous faut préciser qu'il existe quelques méthodes simples, ingénieuses, et accessibles à tout un chacun : il suffit, le plus souvent, d'apprendre trois ou quatre vers dont les mots sont constitué du nombre de lettres à retenir : voici une mini poésie à la française, assez connue.

« Que j’aime à faire connaître un nombre utile aux sages,
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède, artiste ingénieux,
8 9 7 9
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
3 2 3 8 4 6 2 6
Pour moi, ton problème eut de féconds avantages… »
4 3 3 8 3 2 7 9

Ce qui reste en effet le moyen le plus sûr de retenir : 3,141592653589793238462643383279
Mais peut-être préférerez vous la version allemande de ce procédé… plus courte de 7 chiffres, la voici :

"Wie, o dies
3 1 4 1
Macht ernstlich so vielen viele Müh’ !
5 9 2 6 5 3
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein
5 8 9 7 9
Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein !"
3 2 3 8 3 6 2 6 4

Il existe bien sûr d'autres méthodes et d'autres procédés pour retenir ce nombre ; l'abbé Moigno, par exemple, en avait donné un très fiable pour mémoriser les soixante premières décimales de Pi, ce qui est déjà très impressionnant, et peut laisser croire à une mémoire prodigieuse. Cependant, à côté des athlètes de la mémoire, 60 décimales, ce n'est quasiment rien : pour ceux qui se sont mesurés à Pi, les performances dans ce domaine laissent la bouche bée : en 1979, le Japonais Tomoyori récite sans erreur les 15 151 premiers chiffres de Pi ; en 1995, H. Goto en donne, toujours de mémoire, les 42 000 premiers, évidemment là aussi sans faute. Il nous reste à dire que l'on peut écrire Pi ou ses variantes et fractions de nombreuses façons, plus ou moins décelables et lisibles :
Pi / 4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 etc.
Pi² / 6 = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 etc.
Nous avons nous-mêmes trouvé quelques manières fantaisistes de présenter ou, plus exactement, la figure de Pi : celle-ci est l'une des plus singulières.
1 x 2 x 3 x 4 x 7 x 11 x 17 = 31416
que nous accompagnons toujours de cette variante moins précise, mais curieuse si l’on compare les chiffres mis en jeu ci-après et ceux de la précédente proposition :
(1 x 2) + (3 x 4) + (7 x 11) + 17 = 314

Cette petite promenade avec Pi aurait pu se prolonger, notamment en visionnant le film de Darren Aronofski, prosaïquement intitulé… "Pi", ou avec "l’Odyssée de Pi", de Ang Li et d’après le livre de Yann Martel, traduit en 42 langues à ce jour... Mais nous conclurons brièvement, en rappelant que Pi/1,2 = Phi²… Pas mal, pour des constantes irrationnelles ! Cette belle curiosité apparaissant plusieurs dizaines de fois dans les pyramides d’Egypte, et donc, dans LRDP…
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thierry632
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by thierry632 » 24 August 2014, 08:56

Bonjour,
Zu Chongzhi (429 — 500), mathématicien chinois et astronome, donne l'approximation rationnelle: π ≈ 355/113
(noter le ≈ et non le = utilisé dans Pi/1,2 = Phi² qui vient toujours du fameux: Pi/6 = Pi - Phi - 1, disque rayé dont on ne se lasse)

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theophil
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by theophil » 25 August 2014, 21:03

Quelques éléments d'intérêts sur PI que j'avais noté il y a quelques temps dans un article :


– Le chiffre 0 apparaît en 32e position alors que l'ensemble des autres chiffres (123456789)
apparaît dans les 13 premières décimales, pourquoi ce retard ?
– A partir de la 762e décimale on trouve 999.999, soit six 9 avant la millième décimale,
– la somme des vingts premières décimales est égale à 100
– la somme des 144 premières décimales est égale à 666
– les 3 décimales à partir de la position 315 sont « 315 »
– les 3 décimales à partir de la position 360 sont « 360 »

Plus étonnant :
– Si dans l'alphabet français on colorie les lettres ayant un axe de symétrie verticale, on
obtient les 4 premières décimales de pi via les groupes de lettres non coloriés :
HI JKL M N O PQRS TUVWXY Z A BCDEFG
– JKL : 3 lettres
– N : 1 lettre
– PQRS : 4 lettres
– Z : 1 lettre
– BCDEFG : 6 lettres
Soit : 3,1416 !
(Peut être y a t-il une raison à ce jeu symétrie / dissymétrie ???)

Le meilleur pour la fin :
– le poids moyen (statistique sur un grand nombre d'individu) d'un enfant à la naissance est de
~3,14 kg, soit pi kg.

bospho
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by bospho » 26 August 2014, 04:24

Sauf que tu fait commencer ton alphabet a H, et pas a A.
Pourquoi ?

D ou vient l info de 3.14 kg a la naissance ?
Les sites médicaux indiquent une moyenne de 3.3 a 3.5 kg en Occident.
C est pas une constante mondiale.

Bref .. C est un peu arrangé ton calcul ..

Grisnoire
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by Grisnoire » 26 August 2014, 09:51

– les 3 décimales à partir de la position 315 sont « 315 »
– les 3 décimales à partir de la position 360 sont « 360 »

Probabilité que les 3 décimal prisent au hasard donne la position du chiffre les précédent (hypothèse que l'on appellera A):

P(A) = (1/10) * (1/10) * (1/10) = 1/1000

Or il y a exactement 899 décimal correspondant au critère (de 100 à 999)

P(non A) = 999/1000

Probabilité que A soit fausse pour 899 itération:

(999/1000)*899 = 0.407

Probabilité que A soit vrai au moins une fois sur 899 itération:

1 - 0.407 = 0.593 = 59.3%


On a donc 59.3% sur 899 chiffres d'avoir à un moment un triplet donnant la position du chiffre précédent. Exemple typique d'illusion statistique.

Sinon chiffre du poids des bébé à la naissance sorti du chapeau (c'est plus autour de 3.5kg)


Le chiffre 0 qui arrive en 32 position n'a absolument rien de fabuleux ou incroyable ou même une quelconque pertinence statistique.


Bref, de l'esbroufe, vide de sens. Sinon l'article "revue historique du nombre Pi" est assez intéressant.

Grisnoire
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by Grisnoire » 26 August 2014, 10:43

Pour continuer sur ta lancée:
– la somme des vingts premières décimales est égale à 100
– la somme des 144 premières décimales est égale à 666

Ça alors, les 20 premières décimales donnent 100 ! Si on somme n chiffres pris au hasard on obtient en moyenne quelque chose proche de ..... 5*n (et oui, la moyenne des 10 chiffre tourne autour de 5 (4.5 pour être exact)). Après cela tomber pile poil sur 100 on a 1 chance sur 10.... Argument bidon s'il en est.

De même pour 666: 144*4.5 = 648 .... Après ça on a de nouveau 1/10 (au moins ! C'est pas impossible qu'en vrai on est plus de chance que ça ...) qu'il existe une somme de n chiffre donnant 666.

Illusion statistique, quand tu nous tiens !

bramapoutre
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by bramapoutre » 26 August 2014, 10:53

Grisnoire wrote:
– les 3 décimales à partir de la position 315 sont « 315 »
– les 3 décimales à partir de la position 360 sont « 360 »

Probabilité que les 3 décimal prisent au hasard donne la position du chiffre les précédent (hypothèse que l'on appellera A):

P(A) = (1/10) * (1/10) * (1/10) = 1/1000

Or il y a exactement 899 décimal correspondant au critère (de 100 à 999)

P(non A) = 999/1000

Probabilité que A soit fausse pour 899 itération:

(999/1000)*899 = 0.407

Probabilité que A soit vrai au moins une fois sur 899 itération:

1 - 0.407 = 0.593 = 59.3%


On a donc 59.3% sur 899 chiffres d'avoir à un moment un triplet donnant la position du chiffre précédent. Exemple typique d'illusion statistique.


Même si je ne comprend pas ce que tu avance,il n'empêche que cela tombe sur 315 et 360,et que si 360 est le cercle,315 se rattache à 45 135 et 225 pour inscrire dans ce cercle un carré ayant racine de 2 pour côté,sans compter que leur tangente renvoie au carré circonscrit dont chaque côté vaut 1,et que si les choses ne s'arrêtent pas là c'est déjà suffisant pour faire apparaître une forme géométrique simple et explicite dont la profondeur,le prolongement et même le symbolisme procurent toujours plus d'informations en rapport non seulement avec la mathématique mais aussi avec toute discipline procurant à l'homme savoir et equilibre,conscience et responsabilité.

Je ne vois pas en quoi cela pourrait déranger mon voisin.

Grisnoire
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by Grisnoire » 26 August 2014, 11:25

Combien de nombre ont une signification entre 100 et 999 ? 360, 314, 315, 161, 162, 666, tout les "XXX", les nombres qui tombent juste (type 300, 250, etc), les valeur type 523 (coudé), 299 (c), les variante de Pi/2, etc. Bref une foultitude de nombre donnerai derrières une signification particulière. Et pour reprendre la phrase connue:

Quand chaque nombre est spécial, aucun ne l'est.

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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by Jcpo » 26 August 2014, 11:32

Grisnoire wrote:Pour continuer sur ta lancée:
– la somme des vingts premières décimales est égale à 100
– la somme des 144 premières décimales est égale à 666
Ça alors, les 20 premières décimales donnent 100 ! Si on somme n chiffres pris au hasard on obtient en moyenne quelque chose proche de ..... 5*n (et oui, la moyenne des 10 chiffre tourne autour de 5 (4.5 pour être exact)). Après cela tomber pile poil sur 100 on a 1 chance sur 10.... Argument bidon s'il en est.

De même pour 666: 144*4.5 = 648 .... Après ça on a de nouveau 1/10 (au moins ! C'est pas impossible qu'en vrai on est plus de chance que ça ...) qu'il existe une somme de n chiffre donnant 666.

Illusion statistique, quand tu nous tiens !
Seulement déjà avec deux occurrences ta probabilité n'est plus de 10% mais de 1%.
Et moi je te dis que tous les humains sont uniques tu vas me dire que non tu es comme tout le monde et comme nous ? Lol
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bramapoutre
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Post by bramapoutre » 26 August 2014, 11:51

Grisnoire wrote:Combien de nombre ont une signification entre 100 et 999 ? 360, 314, 315, 161, 162, 666, tout les "XXX", les nombres qui tombent juste (type 300, 250, etc), les valeur type 523 (coudé), 299 (c), les variante de Pi/2, etc. Bref une foultitude de nombre donnerai derrières une signification particulière. Et pour reprendre la phrase connue:

Quand chaque nombre est spécial, aucun ne l'est.

Dans ce cas offre nous un exemple,comme celui de theophile,qui se rattache sans effort à une forme géométrique qui en l'occurence se trouve être la base du cercle trigonométrique.
De même pour 144 et 666 qu'on peut concrétement rattacher à l'evangile,pendant que 144 tout seul et dans le cercle renvoie à la moitié de phi par son cosinus. Offre nous donc des exemples ayant une densité d'informations comparables,informations simples mais determinantes parceque fondamentales.

Va-t-il encore et toujours falloir philosopher sur le determinisme et la stochastique pour encore s'apercevoir que la seconde n'est finalement qu'une forme du premier?

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