Solides platoniciens

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Solides platoniciens

Post by Lafla » 27 December 2015, 00:28

Bonjours à tous et à toutes,

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dans le Timée, Platon introduit les cinq types de solides convexes réguliers inscriptibles dans une sphère : le tétraèdre (4 faces triangulaires), l'octaèdre (8 faces triangulaires), le cube (6 faces carrées), l'icosaèdre (20 faces triangulaires) et le dodécaèdre (12 faces pentagonales). Je propose de rassembler ici quelques unes de leurs propriétés.

Pour commencer, la caractéristique d'Euler : (nombre de faces) + (nombre de sommets) = (nombre d'arêtes) + 2
par exemple pour le cube : (6 faces) + (8 sommets) = 14 = (12 arêtes) + 2

Le cube et l'octaèdre sont duaux : on forme un cube en reliant les 8 centres des 8 faces de l'octaèdre, et inversement.
De même le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux, et le tétraèdre est "auto-dual".

Enfin il est possible de tracer un tétraèdre, un octaèdre ou un icosaèdre sur une sphère en utilisant la méthode des rosaces, pour des valeurs bien précises du rapport entre l'écartement R du compas et le diamètre D de la sphère :

R = D x racine(2/3) pour le tétraèdre
R = D x racine(1/2) pour l'octaèdre
R = D x racine (1/(1+phi²)) ou D x racine (phi²/(1+phi²)) pour l'icosaèdre, où phi désigne le nombre d'or

Il s'agit des trois solides platoniciens à faces triangulaires (équilatérales). Chaque sommet est commun à 3 faces dans le premier cas, 4 dans le deuxième cas et 5 dans le troisième cas. Avec 6 face on passe de la géométrie sphérique à la géométrie plane (rosaces hexagonales classiques, pas de contraintes de rayon) et au-delà à la géométrie hyperbolique (disque de Poincaré...)

A vous ! 8-)
Euler : e^(iπ)+1=0 ; Gauss : ∫e^(-t²)dt=√π ; Stirling : (n/e)ⁿ.√2πn/n!=1+ε(n)
1 = (1/φ)² + (1/φ)³ + ... + (1/φ)ⁿ + ...

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Re: Solides platoniciens

Post by Lafla » 07 January 2016, 16:49

Je reprends mon explication avec quelques dessins...

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L'octaèdre s'obtient en ouvrant le compas (en vert) sur un quart de la circonférence de la sphère, de sorte que quand on le plante au pôle Nord on trace l'équateur (pas penché). En procédant ensuite comme pour les rosaces sur cette sphère, on trace les six points rouges et donc l'octaèdre. Le tétraèdre s'obtient de même en "décalant" l'équateur d'un tiers du rayon sur la gauche, et l'icosaèdre en inscrivant un carré dans le demi-cercle (cette figure correspond donc à un rectangle "double-carré" inscrit dans la sphère, ce qui n'est pas étonnant vu que l'icosaèdre, le dodécaèdre, le pentagone, le double-carré, le nombre d'or et la racine carré de 5 sont tous étroitement liés entre eux).

Autre moyen plus simple pour obtenir ces trois solides platoniciens :

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On part d'un hexagone (6 triangles équilatéraux) obtenu par une rosace (je ne vous fais pas l'affront de vous rappeler comment l'obtenir... :?), puis on supprime 3,2 ou 1 triangles et on recolle les 3,4 ou 5 triangles restants.

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On obtient alors une pyramide à 3,4 ou 5 faces (privée de base) qu'il suffit de copier-coller et d'assembler pour terminer respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.

Remarque : les constructions correspondantes dans le plan hyperbolique ne se font pas en retirant des triangles mais en en rajoutant. Par exemple ci-dessous un pavage du disque de Poincaré par des heptagones réguliers (formés de 7 triangles équilatéraux, oui oui !). Dans cette géométrie particulière, tous les segments qui constituent chaque heptagone sont considérés en effet comme ayant la même longueur, c'est la magie du disque de Poincaré :!:

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Re: Solides platoniciens

Post by Lafla » 11 January 2016, 16:51

Il est curieux de voir que Platon considère que chacune des faces est constituée de petits triangles. Voici l'extrait avec mes propres commentaires (cf http://ugo.bratelli.free.fr/Platon/Platon-Timee.htm, page 53c-54c)
D’abord il est évident pour tout le monde que le feu, la terre, l’eau et l’air sont des corps. Or, le genre corporel a toujours de la profondeur, et la profondeur est, de toute nécessité, enclose par la nature de la surface, et toute surface de formation rectiligne est composée de triangles. Or, tous les triangles dérivent de deux triangles, dont chacun a un angle droit et les deux autres aigus [séparation d'un triangle en deux triangles rectangles par une de ses hauteur]. L’un de ces triangles a de chaque côté une partie de l’angle droit divisée par des côtés égaux [triangle rectangle isocèle] ; l’autre, des parties inégales d’un angle droit divisées par des côtés inégaux. Telle est l’origine que nous assignons au feu et aux autres corps, suivant la méthode qui combine la vraisemblance avec la nécessité. Quant aux origines plus lointaines encore, elles ne sont connues que de Dieu et des hommes qu’il favorise.

Maintenant, il faut expliquer comment peuvent se former les plus beaux corps, qui sont au nombre de quatre, et dissemblables entre eux, mais tels que certains d’entre eux peuvent être engendrés les uns des autres en se dissolvant. Si nous y réussissons, nous tiendrons la vérité sur l’origine de la terre et du feu et des corps qui leur servent de termes moyens. Car nous n’accorderons à personne qu’on puisse voir des corps plus beaux que ceux-là, chacun d’eux formant un genre unique. Appliquons-nous donc à constituer harmoniquement ces quatre espèces de corps supérieurs en beauté, afin de pouvoir dire que nous en avons bien compris la nature.

Or, de nos deux triangles, celui qui est isocèle n’admet qu’une forme ; celui qui est scalène [non isocèle], un nombre infini. Dans ce nombre infini, il nous faut encore choisir le plus beau, si nous voulons commencer correctement. Maintenant, si quelqu’un peut en choisir et en indiquer un plus beau pour en former ces corps, je lui cède le prix et le tiens non pour un ennemi, mais pour un ami. Pour nous, parmi ces nombreux triangles, il en est un que nous regardons comme le plus beau à l’exclusion des autres : c’est celui dont est formé le troisième triangle, le triangle équilatéral. Pourquoi ? Ce serait trop long à dire. Mais si quelqu’un, soumettant le cas à sa critique, en découvre la raison, je lui accorderai volontiers le prix. Choisissons donc deux triangles dont le corps du feu et celui des autres corps ont été constitués, l’un isocèle, l’autre dans lequel le carré du grand côté est triple du carré du petit [donc la moitié d'un triangle équilatéral]. Ce que nous avons dit là-dessus était obscur : c’est le moment de préciser davantage. Les quatre espèces de corps nous paraissaient toutes naître les unes des autres : c’était une apparence trompeuse. En effet, les triangles que nous avons choisis donnent naissance à quatre types, et, tandis que trois sont construits d’un même triangle, celui qui a les côtés inégaux, le quatrième seul a été formé du triangle isocèle. Il n’est, par suite, pas possible qu’en se dissolvant, ils naissent tous les uns des autres, par la réunion de plusieurs petits triangles en un petit nombre de grands et réciproquement ; ce n’est possible que pour les trois premiers. Comme ils sont tous trois formés d’un même triangle, quand les plus grands corps se désagrègent, un grand nombre de petits peuvent se former des mêmes triangles, en prenant la figure qui leur convient ; et inversement, quand beaucoup de petits corps se désagrègent en leurs triangles, leur nombre total peut former une autre espèce de corps d’un seul volume et de grande taille. Voilà ce que j’avais à dire sur leur génération mutuelle [c'est la chimie selon Platon, très éloignée de notre chimie actuelle qui décrit la matière sous forme d'atomes et de molécules].

La première chose à expliquer ensuite, c’est la forme que chacun d’eux a reçue et la combinaison de nombres dont elle est issue. Je commencerai par la première espèce, qui est composée des éléments les plus petits. Elle a pour élément le triangle dont l’hypoténuse est deux fois plus longue que le plus petit côté [soit le demi triangle équilatéral]. Si l’on accouple une paire de ces triangles par la diagonale et qu’on fasse trois fois cette opération, de manière que les diagonales et les petits côtés coïncident en un même point comme centre, ces triangles, qui sont au nombre de six, donnent naissance à un seul triangle, qui est équilatéral [voir figure]. Quatre de ces triangles équilatéraux réunis selon trois angles plans forment un seul angle solide, qui vient immédiatement après le plus obtus des angles plans [?]. Si l’on compose quatre angles solides, on a la première forme de solide [le tétraèdre, 4 faces et 4 sommets], qui a la propriété de diviser la sphère dans laquelle il est inscrit en parties égales et semblables. La seconde espèce est composée des mêmes triangles. Quand ils ont été combinés pour former huit triangles équilatéraux, ils composent un angle solide unique, fait de quatre angles plans. Quand on a construit six de ces angles solides, le deuxième corps se trouve achevé [l'octaèdre, 8 faces et 6 sommets]. Le troisième est formé de la combinaison de deux fois soixante triangles élémentaires, c’est-à-dire de douze angles solides, dont chacun est enclos par cinq triangles plans équilatéraux, et il y a vingt faces qui sont des triangles équilatéraux [l'icosaèdre, 20 faces et 12 sommets]. Après avoir engendré ces solides, l’un des triangles élémentaires a été déchargé de sa fonction, et c’est le triangle isocèle qui a engendré la nature du quatrième corps. Groupés par quatre, avec leurs angles droits se rencontrant au centre [voir figure], ces isocèles ont formé un quadrangle unique équilatéral [un carré]. Six de ces quadrangles, en s’accolant, ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits, et la figure obtenue par cet assemblage est le cube [6 faces et 8 sommets], qui a pour faces six tétragones de côtés égaux. Il restait encore une cinquième combinaison [le dodécaèdre]. Dieu s’en est servi pour achever le dessin de l’univers.
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Re: Solides platoniciens

Post by Lafla » 04 February 2016, 17:35

Dans la veine de Platon, un auteur qui me semble intéressant est Plutarque (premier siècle après JC) : Wikipédia le présente comme un néo-platonicien, un pont majeur entre la pensée de l'Antiquité et de la Renaissance et le cite comme ayant notamment inspiré Rabelais, Shakespeare, Montaigne ainsi que Francis Bacon (auteur de "La Nouvelle Atlantide" chère à J. Grimault).

http://remacle.org/bloodwolf/historiens ... /index.htm

Par exemple, dans les Questions Platoniques (tome IV) il revient sur le Timée et sur les cinq solides qui correspondent au quatre éléments et à l'Univers/éther. D'autres sujets de LRDP sont aussi évoqués... rien sur l'Atlantide par contre :cry:

http://remacle.org/bloodwolf/historiens ... niques.htm

Dans "Que signifie la lettre EI gravée sur la porte du temple à Delphes ?" et "Sur les sanctuaires dont les oracles ont cessé" (tome II) il y a beaucoup de sujets intéressants (géométrie, numérologie, alphabet, mesure du temps...). On y retrouve notamment le problème de la duplication du cube (comment construire un cube dont le volume est le double de celui d'un cube donné). C'est un problème du même tonneau que la quadrature du cercle sauf qu'il s'agit de construire non pas π mais la racine cubique de 2 ; là encore le théorème de Wantzel prouve que c'est impossible à la règle et au compas seulement. Notez que ce problème est présenté comme un défi lancé aux hommes par le dieu Apollon, pour susciter en eux (d'après Platon) l'intérêt de la géométrie... comme si le dieu sachant pertinemment que c'était impossible s'était dit que ça nous occuperait l'esprit pendant un moment jusqu'à ce qu'on ait enfin compris 8-)

Il y a aussi quelques aspects de la philosophie pythagoricienne : si je résume, le 2 et les nombres pairs représentent le féminin, le 3 et les nombres impairs le masculin, le 5 représente le mariage (logique !), la nature puisque qu'il renaît de lui-même (toute puissance de 5 se termine par 5), l'homogénéité (puisque ses produits se terminent par 5 ou 0)... Une ode à la base dix et une façon de penser un peu trop "numérologique" pour moi. Certains "mystères" de Delphes sont aussi évoqués (la phrase "Connais-toi toi-même", l'appellation nombril du monde, tiens-tiens...). Moi je vois dans ce EI qu'on peut traduire par "si" que c'est dans le syllogisme que se trouve la vérité, ce que dit par ailleurs le type appelé Ammonius... enfin après chacun peut se faire sa propre opinion.

http://remacle.org/bloodwolf/historiens ... que/ei.htm
http://remacle.org/bloodwolf/historiens ... racles.htm

Pour le reste je n'ai pas tout lu :geek: :roll:

A noter aussi le traité sur Isis et Osiris (j'ai cru comprendre que c'est le seul texte qui rassemble un peu toutes les bribes de la mythologie construite petit à petit et les compare), "Des noms des fleuves et de montagnes et des choses remarquables qui s'y trouvent" (pure alchimie, non ?), "De la malignité d'Hérodote" (où Plutarque explique que le bon vieux Hérodote raconte n'importe quoi :o ), le "Démon de Socrate", les "Opinions des philosophes", ...

http://remacle.org/bloodwolf/historiens ... siris1.htm
http://remacle.org/bloodwolf/historiens ... iris1a.htm
http://remacle.org/bloodwolf/historiens ... leuves.htm
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Re: Solides platoniciens

Post by leo » 21 April 2016, 10:39

En lisant Platon, il semble s'agir non pas de solides , mais de volumes (de l'espace borné). La première idée fait référence à des choses tandis que la seconde fait appel à une conceptualisation d'un bornage de l'espace et s'agissant pour cet auteur d'une création, il semble mettre en avant une cosmogonie, voire une cosmologie.

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