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Multiples carrés


Multiples carrés

Message par Lafla » 04 Juillet 2017, 19:15

https://www.petit-fichier.fr/2017/07/04/multiples-carres/

Bonjour à tous et à toutes.

je me suis dit que le sujet des multiples carrés (et de l'arithmétique des entiers de Gauss) était suffisamment vaste pour mériter l'ouverture d'une nouvelle discussion. Si vous n'êtes pas familiers du contexte ou que vous ne voyez pas le probable rapport avec les pyramides et autres monuments antiques, je vous suggère de vous "rapprocher" (bien que je déteste cette expression :x ) de Howard Crowhurst, de Quentin Leplat et de leurs travaux très intéressants.

Vous pouvez télécharger ci-dessus mon PDF, que j'enrichirai et mettrai à jour au fur et à mesure, et qui propose une approche de ces structures géométriques via les nombres complexes.

On appellera multiple carré de format axb un rectangle formé de a carrés dans la longueur et de b carrés dans la largeur, soit en tout axb carrés. L'angle de ce multiple carré sera l'angle formé par l'un des côtés et l'une des diagonales : il est typiquement égal à l'arctangente du rapport largeur/longueur soit arctan(b/a).

Pour débuter, un nouveau résultat, enfin... pas vraiment nouveau puisqu'il n'est que la traduction de principes déjà connus depuis le XVIIIe siècle environ. Soit p un nombre premier (rappelons que c'est un nombre entier qui n'est pas 1 et qui n'est divisible que par 1 et par lui-même). Les seul nombres premiers qui nous intéressent ici sont 2 et les nombres égaux à 1 plus un multiple de 4, c'est-à-dire 5, 13, 17, 29, etc... (ils sont en nombre infini). Ce sont précisément les seuls nombres premiers qui se décomposent en somme de deux carrés :

2 = 1² + 1² ; 5 = 2² + 1² ; 13 = 3² + 2² ; 17 = 4² + 1² ; 29 = 5² + 2² ; etc...

On sait que les nombres premiers sont très importants en arithmétique, parce que ce sont les atomes qui constituent tous les autres nombres : en effet tous les nombres se décomposent d'une seule façon en un produit de nombres premiers. Il en est exactement de même pour les angles de multiples carrés.

Si p = a²+b² avec a>b>0, alors p correspond à un multiple carré de format axb, et donc à un angle (arctan(b/a)) :
p = 2 => arctan(1/1) = 45°
p = 5 => arctan(1/2) = 26,56...°
p = 13 => arctan(2/3) = 33,69...°
p = 17 => arctan(1/4) = 14,03...°
p = 29 => arctan(2/5) = 21,80...°
p = 37 => arctan(1/6) = 9,46...°
p = 41 => arctan(4/5) = 38,65...°
etc...

Voici venir le résultat important : tous les angles de multiples carrés sans exception s'écrivent comme combinaison (additions ou soustractions) des angles qui apparaissent dans cette liste. De plus, il n'y a qu'une seule et unique combinaison pour chaque angle donné.

Par exemple, le multiple carré 5x3 :

a) On calcule 5² + 3² = 25 + 9 = 34, on décompose le résultat en facteurs premiers

34 = 2 x 17

puis on associe leur angle à chacun : 45° pour 2 et 14,03...° pour 17.

b) On calcule l'angle arctan(3/5) = 30,96...° et on remarque que 30,96 = 45 - 14,03 (à un centième de degrés près, le résultat en nombre irrationnels étant quant à lui exact)
Euler : e^(iπ)+1=0 ; Gauss : ∫e^(-t²)dt=√π ; Stirling : (n/e)ⁿ.√2πn/n!=1+ε(n)
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Re: Multiples carrés

Message par 'ABD » 05 Juillet 2017, 01:20

Merci lafla pour tes interventions, mais il faut dire qu'ils ne sont pas à la portée du premier matheux venue, tellement tu te lance dans la complexité.
Cependant, j'ai lu récemment, et je ne me rappelle plus exactement ce que c'est, et ou, mais cela parlait des triangles de Pythagore qui se déclinait à l'intérieur d'un carré, comme ceux là :

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Re: Multiples carrés

Message par Lafla » 05 Juillet 2017, 13:00

@ABD : ces figures s'appellent des fractales, elles sont obtenues par la répétition "à l'infini" d'un même processus. Ici on part d'un premier carré, on inscrit dedans un deuxième carré plus petit (en pivotant d'un certain angle), on inscrit dedans un troisième carré (en pivotant du même angle), puis un quatrième, puis un cinquième, et ainsi de suite (en théorie jusqu'à l'infini, en pratique jusqu'à ce qu'on décide de s'arrêter...).

Il est à noter que les rapports de proportions se conservent : si le deuxième carré représente 80% de l'aire du premier, alors le troisième représente aussi 80% du deuxième, le quatrième 80% du troisième, et ainsi de suite. Si on s'intéresse maintenant aux triangles qui bordent les carrés, il est à noter aussi qu'on est en train de décomposer une surface finie (celle du carré de départ) en une infinité de surfaces triangulaires, toutes homothétiques entre elles mais de plus en plus petites.

On peut explorer d'autres configurations avec des carrés et des triangles rectangles :

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La géométrie fractale a tout un tas d'applications, pour la création d'images et d'effets spéciaux notamment, mais aussi en biologie, en économie, etc... Toutefois, les "mégalithiciens" n'ont pas laissé d'indice nous permettant de penser qu'ils avaient une connaissance approfondie de cette géométrie. J'ai bien vu quelques tablettes babyloniennes qui montrent quelques carrés inscrits les uns dans les autres, on parle aussi des différentes parties de l'oeil oudjat (sensées représenter les fractions 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) qui pourraient constituer le début d'une décomposition fractale de 1, mais de là à dire qu'ils pouvaient concevoir de répéter ce processus à l'infini (ce qui est vraiment la marque "fractale") c'est une toute autre affaire.

On pourrait dire que les premières traces du concept de fractale remontent à Zénon (Ve siècle avant JC) et son fameux paradoxe d'Achille et de la tortue. Eh oui, les Grecs encore une fois qui récupèrent tout le mérite... ce n'est pas ma faute si ce sont les premiers qui aient pensé à laisser une trace écrite de leurs raisonnements.


Je reviens maintenant aux multiples carrés, je vais préciser un peu les niveaux et prérequis. Dans mon PDF, il y a des choses très simples : le théorème de Pythagore, la notion d'arctangente sont au programme de collège (il y avait un exercice de brevet là-dessus cette année), ça fait donc partie des fondamentaux, de la culture générale mathématique en quelque sorte, HC et QL les utilisent à tout bout de champ, et c'est vraiment un truc que vous devez maîtriser avant d'aborder la géométrie des mégalithes. Je pourrais revenir dessus autant que nécessaire bien sûr. Il y a aussi des choses plus subtiles : les nombres complexes, qui font partie du programme de Terminale, mais ça ne doit pas vous faire peur pour autant. Il ne s'agit pas de devenir un expert, mais juste de piger le mécanisme, en lisant, relisant, méditant les exemples, et surtout en vous lançant vos propres exemples. Comme les bébés qui apprennent à marcher, il faut qu'un jour il se lancent et essayent de mettre un pied devant l'autre, si ils se cassent la figure tant pis, ils réessayeront le lendemain.

Mettons que je me lève un matin et que je veuille calculer le double de l'angle d'un septuple carré (format 7x1). Je le fais d'abord par la méthode classique : l'angle est égal à l'arctangente de 1/7 soit 8,13° environ, son double vaut donc 16,26°. J'écris ensuite l'affixe (sept unités réelles plus une unité imaginaire ce qui donne 7+i) et je l'élève au carré en utilisant la double distributivité (programme de collège) :

(7+i)² = (7+i)x(7+i) = 7x7 + 7xi + ix7 + i² = 49 + 7i + 7i - 1 = 48 + 14i.

Le résultat est un multiple carré de de format 48 par 14, réductible en 24 par 7. On le vérifie grâce à l'arctangente

arctan(7/24) = 16,26020471...°

Et pour peaufiner, un rectangle de format 24x7 a une diagonale de 25 tout rond, puisque d'après Pythagore :

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²

C'est donc un triplet pythagoricien 7-24-25, ce que QL aurait certainement repéré d'emblée même à jeûn.

@ABD, je te propose (si tu en as envie) de nous détailler le calcul du double de l'angle d'un quintuple carré 5x1 en passant par (5+i)². Comme tu verras ce calcul est parfaitement mécanique, tu peux reprendre mon texte mot pour mot et remplacer les anciennes valeurs par les nouvelles, il n'y a pas de place pour l'improvisation et il deviendra un automatisme à condition que tu t'y entraînes suffisamment. Je ramasse les copies dans un quart d'heure... 8-)
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Re: Multiples carrés

Message par Lafla » 12 Juillet 2017, 16:02

Autour du rectangle d'or :

Un rectangle d'or (de format 1 x φ) fait apparaître un angle diagonal de 31,72° environ (= arctan(1/φ)). Multiplié par 2 cela donne exactement l'angle diagonal d'un double carré (arctan(2) = 63,44° = 2 x 31,72°).

L'angle complémentaire est 90 - 31,72 = 58,28°. Si on soustrait 31,72° à cet angle on obtient

58,28 - 31,72 = 26,56°,

soit l'autre angle diagonal du double carré (=arctan(1/2)). Mais si on y réfléchit bien, on comprend le lien avec ce qui précède.

Maintenant, mettons deux rectangles d'or dos à dos selon leur longueur. On obtient un rectangle de format 2 x φ et d'angle diagonal 38,97° environ (voir ici à 33 min 20 s). Si on les met dos à dos selon leur largeur, on obtient un rectangle de format 1 x 2φ et d'angle diagonal 17,17° environ. Par soustraction

38,97 - 17,17 = 21,80°,

soit l'angle diagonal d'un rectangle de format 5x2 (=arctan(2/5)).

Maintenant, mettons trois rectangles d'or debout côte à côte, et trois rectangles d'or couchés côte à côte. nous obtenons respectivement des angles diagonaux d'environ 28,34° et 11,64°. Par soustraction

28,34 - 11,64 = 16,70°

soit l'angle diagonal d'un rectangle de format 10x3 (=arctan(3/10)).

Et ainsi de suite, la différence entre l'angle diagonal de n rectangles d'or debout côte à côte et celui de n rectangles d'or couchés côte à côte est toujours l'angle d'un multiple carré, plus précisément c'est arctan(n/(n²+1)).

Ce raisonnement valable pour tout n conduit à une infinité de procédés de construction du nombre d'or :

Image

Prenons par exemple un double carré vert couché, auquel on accole un double carré rouge debout, les deux ayant la même hauteur. On inscrit ensuite tout ce rectangle dans un cercle. Alors l'axe vertical qui sépare les deux doubles carrés fait apparaître le rapport φ sous la forme EK/EF = 6,47/4 = 1,6175 (l'imprécision est ici dûe à la mesure de EK précise au centième seulement). Le même rapport φ se trouverait au même endroit si on remplaçait les doubles carrés par des triples carrés, ou des quadruples carrés, ou des quintuples carrés, et ainsi de suite.
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